simplefractions 1.2.1

simplefractions包可以找到将给定浮点数转换为最简分数，或者更普遍地说，找到给定区间内的最简分数。

定义。 给定分数 x = a/b 和 y = c/d（以最小公倍数和正分母的形式写出），如果 abs(a) <= abs(c)，b <= d，并且至少有一个不等式是严格的，则说 x 比 y 更简单。

例如，22/7比23/8更简单，但3/8和4/7都不是比对方更简单。

那么，这是一个定理：给定任何至少包含一个分数的实数子区间 I，该区间包含一个唯一的简单分数。也就是说，在 I 中存在一个分数 a/b，使得 a/b 比区间 I 中的所有其他分数都简单（在上述意义上）。因此，对于任何给定的有限Python浮点数 x，都有一个唯一的简单分数可以四舍五入到该浮点数。

simplefractions包提供两个函数

• simplest_from_float返回，对于给定的浮点数 x，具有 float(simplest_from_float(x)) == x 属性的唯一最简分数。
• simplest_in_interval返回给定（开或闭，有界或无界）非空区间内的唯一最简分数。

示例用法

首先从模块中导入函数

>>> from simplefractions import *

simplest_from_float 函数接受一个有限的浮点数 x，并生成一个 Fraction 对象，该对象可以恢复该浮点数

>>> simplest_from_float(0.25)
Fraction(1, 4)
>>> simplest_from_float(0.33)
Fraction(33, 100)

无论给定什么 x，不变量 float(simplest_from_float(x)) == x 总是成立的。

>>> x = 0.7429667872099244
>>> simplest_from_float(x)
Fraction(88650459, 119319545)
>>> float(simplest_from_float(x))
0.7429667872099244
>>> float(simplest_from_float(x)) == x
True

如果浮点数 x 是通过除以两个小的整数构造的，那么在大多数情况下，simplest_from_float 将恢复这些整数

>>> x = 231 / 199
>>> x
1.1608040201005025
>>> simplest_from_float(x)
Fraction(231, 199)

更精确地说，如果 x 是通过除以两个小于或等于 67114657（绝对值）的互质整数构造的，那么 simplest_from_float 将恢复这些整数。

>>> simplest_from_float(64841043 / 66055498)
Fraction(64841043, 66055498)

但 67114657 是我们在这里能做的最好的。

>>> simplest_from_float(67114658 / 67114657)
Fraction(67114657, 67114656)

在更大的情况下，simplest_from_float 可能会发现一个更简单的分数，该分数给出相同的浮点数

>>> x = 818421477165 / 1580973145504
>>> simplest_from_float(x)
Fraction(5171, 9989)
>>> 818421477165 / 1580973145504 == 5171 / 9989
True

请注意，simplest_from_float 并不能神奇地修复浮点数的精度误差。例如

>>> x = 1.1 + 2.2
>>> simplest_from_float(x)
Fraction(675539944105597, 204709073971393)

您可能期望在这里看到 Fraction(33, 10)，但将其转换为浮点数时，得到的值非常接近，但不完全等于 x。相比之下，simplest_from_float(x) 的返回值在转换为 float 时总是产生完全等于 x 的值。

为了修复这个问题，您可能需要要求一个最简单的浮点数，它在 x 的某个小误差范围内，例如，在两个方向上都在 5 ulps（最后一位的单位）内。 simplest_from_float 无法做到这一点，但 simplest_in_interval 可以！例如

>>> from math import ulp
>>> x = 1.1 + 2.2
>>> simplest_in_interval(x - 5*ulp(x), x + 5*ulp(x))
Fraction(33, 10)

或者，您可能要求一个最简单的分数，它以最大的相对误差 0.000001 来逼近 x

>>> relerr = 1e-6
>>> simplest_in_interval(x - relerr*x, x + relerr*x)
Fraction(33, 10)

以下是 simplest_in_interval 的一些应用示例。 simplest_in_interval 的输入可以是浮点数、整数或 Fraction 对象。

>>> simplest_in_interval(3.14, 3.15)
Fraction(22, 7)

默认情况下，simplest_in_interval 假设您指定的是一个开区间

>>> simplest_in_interval(3, 4)
Fraction(7, 2)

关键字参数 include_left 和 include_right 允许您指定一个或两个端点应该包含在区间内

>>> simplest_in_interval(3, 4, include_left=True, include_right=True)
Fraction(3, 1)

区间的左端点和右端点都是可选的，允许指定半无限或无限区间

>>> simplest_in_interval(right=4)  # simplest in (-inf, 4)
Fraction(0, 1)
>>> simplest_in_interval(left=4, include_left=True)  # simplest in [4, inf)
Fraction(4, 1)
>>> simplest_in_interval()  # simplest in (-inf, inf)
Fraction(0, 1)