MCLF

用于在局部域上的曲线模型中进行计算的Sage工具箱

这仍然是我们工具箱的一个相对不成熟版本。尽管如此，您可以使用它来计算一类在有理数域上的曲线在坏缩放素数下的稳定缩放。

设Y是域K上的一条光滑投射曲线，设vK是K上的离散值。

• 主要目标是计算Y相对于vK的半稳定缩放。
• 这意味着我们想知道
• 一个有限伽罗瓦扩张L/K，
• 将vK扩张到L的扩张vL，

一个积分半稳定模型在vL的值环上的特殊纤维，以及

分解群在特殊纤维上的作用。

目前我们只能在某些特殊情况下做到这一点，但这些应该仍然是有用的。

如果您至少有Sage 8.2，您可以使用sage -pip install --user --upgrade mclf安装此软件包的最新版本。

sage: from mclf import *

可以使用以下方式加载软件包

sage: R.<x> = QQ[]
sage: Y = SuperellipticCurve(x^4-1, 3)
sage: Y
superelliptic curve y^3 = x^4 - 1 over Rational Field

通常情况下，类 SuperellipticCurve 允许您创建形如 yⁿ = f(x) 的超椭圆曲线，其中 f(x) 是定义在任意域 K 上的多项式。但您也可以定义具有给定函数域的任意光滑射影曲线 Y。

我们定义有理数域上的 2 进制估值。然后我们可以创建类 SemistableModel 的一个对象，该对象表示曲线 Y 关于 2 进制估值下的半稳定模型。

sage: v_2 = QQ.valuation(2)
sage: Y2 = SemistableModel(Y, v_2)
sage: Y2.is_semistable() # this may take a while
True

Y 在 p=2 处的稳定化简有四个分量，其中一个的亏格为 0，其余三个的亏格为 1。

sage: [Z.genus() for Z in Y2.components()]
[0, 1, 1, 1]
sage: Y2.components_of_positive_genus()
[the smooth projective curve with Function field in y defined by y^3 + x^4 + x^2,
 the smooth projective curve with Function field in y defined by y^3 + x^2 + x,
 the smooth projective curve with Function field in y defined by y^3 + x^2 + x + 1]

我们还可以从稳定化简中提取曲线 Y 的某些算术信息。例如，我们可以在 p=2 处计算 Y 的 导数指数。

sage: Y2.conductor_exponent()
6

现在让我们计算 Y 在 p=3 处的半稳定化简

sage: v_3 = QQ.valuation(3)
sage: Y3 = SemistableModel(Y, v_3)
sage: Y3.is_semistable()
True
sage: Y3.components_of_positive_genus()
[the smooth projective curve with Function field in y defined by y^3 + y + 2*x^4]

我们看到 Y 在 p=3 处有潜在的好化简。导数指数是

sage: Y3.conductor_exponent()
6

有关工具箱的功能和限制的更多详细信息，请参阅文档。有关数学背景，请参阅

• J. Rüth, 曲线和估值模型，博士学位论文，乌尔姆大学，2014
• I.I. Bouw, S. Wewers, 计算 L 函数和超椭圆曲线的半稳定化简，格拉斯哥数学杂志，59(1)，2017，77-108
• I.I. Bouw, S. Wewers, 曲线的半稳定化简和 L 函数的坏欧拉因子计算，ICERM 短课程讲义
• S. Wewers, 度为 p 的超椭圆曲线的半稳定化简，预印本，2017

已知错误和问题

请参阅我们的问题列表，并告知我们任何未在该列表中涵盖的错误或遗漏。

实验性更改

我们还有一个不稳定的 实验性 版本，其中包含最新的实验性功能和错误，您可以通过点击 来尝试，请注意，此版本目前 我们自己的测试套件。

开发工作流程

大多数开发都是在针对 master 分支的功能分支上进行的。认为 master 分支是稳定的，通常我们会在 master 上合并某些内容时创建一个新的版本并将其上传到 PyPI。我们有时会在 experimental 分支上收集一些实验性更改。