bezier 2024.6.20

为什么是贝塞尔？

贝塞尔曲线（以及三角形等）是一种参数曲线，它使用 Bernstein基

来定义曲线作为一个线性组合

这源于权重之和为1的事实

这可以通过考虑三个、四个等非负权重之和为1来推广（在上面的例子中，我们有两个非负权重 s 和 1 - s）。

由于它们的简单形式，贝塞尔曲线

• 可以轻松地将几何对象作为参数曲线、三角形等进行建模。

• 可以通过De Casteljau算法以高效和数值稳定的方式计算

• 由于曲线（以及三角形等）是基函数的凸组合，因此可以利用凸优化技术对许多算法（如曲线-曲线交点）进行优化

许多应用及其开发历史都在“Bernstein多项式基：一个百年的回顾”中进行描述，例如；

• 通过使用称为NURBS的几何形状函数来表示数据，它有助于在等几何模型上使用有限元素方法（FEM）进行物理分析

• 用于动态系统的鲁棒控制；利用凸性创建曲线的凸包

安装

可以使用pip安装Bezier Python包

$ python     -m pip install --upgrade bezier
$ python3.12 -m pip install --upgrade bezier
$ # To install optional dependencies, e.g. SymPy
$ python     -m pip install --upgrade bezier[full]

要安装纯Python版本（即没有二进制扩展）

$ BEZIER_NO_EXTENSION=true \
>   python   -m pip install --upgrade bezier --no-binary=bezier

Bezier是开源的，因此您也可以从GitHub获取源代码并从源代码进行安装。

入门指南

例如，要创建曲线

>>> import bezier
>>> import numpy as np
>>> nodes1 = np.asfortranarray([
...     [0.0, 0.5, 1.0],
...     [0.0, 1.0, 0.0],
... ])
>>> curve1 = bezier.Curve(nodes1, degree=2)

也可以确定两条曲线之间的交点（点）

>>> nodes2 = np.asfortranarray([
...     [0.0, 0.25,  0.5, 0.75, 1.0],
...     [0.0, 2.0 , -2.0, 2.0 , 0.0],
... ])
>>> curve2 = bezier.Curve.from_nodes(nodes2)
>>> intersections = curve1.intersect(curve2)
>>> intersections
array([[0.31101776, 0.68898224, 0. , 1. ],
       [0.31101776, 0.68898224, 0. , 1. ]])
>>> s_vals = np.asfortranarray(intersections[0, :])
>>> points = curve1.evaluate_multi(s_vals)
>>> points
array([[0.31101776, 0.68898224, 0. , 1. ],
       [0.42857143, 0.42857143, 0. , 0. ]])

然后我们可以绘制这些曲线（及其交点）

>>> import seaborn
>>> seaborn.set()
>>>
>>> ax = curve1.plot(num_pts=256)
>>> _ = curve2.plot(num_pts=256, ax=ax)
>>> lines = ax.plot(
...     points[0, :], points[1, :],
...     marker="o", linestyle="None", color="black")
>>> _ = ax.axis("scaled")
>>> _ = ax.set_xlim(-0.125, 1.125)
>>> _ = ax.set_ylim(-0.0625, 0.625)

有关API级别文档，请参阅Bézier Python 包文档。

开发

要添加功能或运行功能测试，请参阅DEVELOPMENT文档以获取有关如何开始的更多信息。

引用

对于使用bezier的出版物，有一个可以引用的JOSS论文。以下BibTeX条目可以用于引用

@article{Hermes2017,
  doi = {10.21105/joss.00267},
  url = {https://doi.org/10.21105%2Fjoss.00267},
  year = {2017},
  month = {Aug},
  publisher = {The Open Journal},
  volume = {2},
  number = {16},
  pages = {267},
  author = {Danny Hermes},
  title = {Helper for B{\'{e}}zier Curves, Triangles, and Higher Order Objects},
  journal = {The Journal of Open Source Software}
}

可以通过Zenodo DOI引用该库的特定版本；查看版本列表。

许可

bezier在Apache 2.0许可下提供。有关更多详细信息，请参阅许可。