abelian 1.0.1

类和方法

以下列出了最重要的类。软件还包含许多未列出的其他函数和方法。

• LCA 类表示基本LCAs，即R、Z、T = R/Z、Z_n 以及这些群的直和。

  • 基本方法：恒等LCA、直和、等价、同构、元素投影、庞特里亚金对偶。

• HomLCA 类表示LCAs之间的同态。

  • 基本方法：恒等同态、零同态、等价、组合、评估、堆叠、逐元素操作、核、余核、像、余像、对偶（伴随）同态。

• LCAFunc 类表示从LCAs到复数的函数。

  • 基本方法：评估、组合、平移（平移）、反推、前推、点运算符（即加法）。

示例

以下示例展示了六边形格子的傅里叶分析。

我们创建了一个在R^2上的高斯函数和一个用于采样的同态。

from abelian import LCA, HomLCA, LCAFunc, voronoi
from math import exp, pi, sqrt
Z = LCA(orders = [0], discrete = [True])
R = LCA(orders = [0], discrete = [False])

# Create the Gaussian function on R^2
function = LCAFunc(lambda x: exp(-pi*sum(j**2 for j in x)), domain = R**2)

# Create an hexagonal sampling homomorphism (lattice on R^2)
phi = HomLCA([[1, 1/2], [0, sqrt(3)/2]], source = Z**2, target = R**2)
phi = phi * (1/7) # Downcale the hexagon
function_sampled = function.pullback(phi)

接下来我们逼近高斯函数的二维积分。

# Approximate the two dimensional integral of the Gaussian
scaling_factor = phi.A.det()
integral_sum = 0
for element in phi.source.elements_by_maxnorm(list(range(20))):
    integral_sum += function_sampled(element)
print(integral_sum * scaling_factor) # 0.999999997457763

我们使用FFT来逼近高斯函数的傅里叶变换。

# Sample, periodize and take DFT of the Gaussian
phi_p = HomLCA([[10, 0], [0, 10]], source = Z**2, target = Z**2)
periodized = function_sampled.pushforward(phi_p.cokernel())
dual_func = periodized.dft()

# Interpret the output of the DFT on R^2
phi_periodize_ann = phi_p.annihilator()

# Compute a Voronoi transversal function, interpret on R^2
sigma = voronoi(phi.dual(), norm_p=2)
factor = phi_p.A.det() * scaling_factor
total_error = 0
for element in dual_func.domain.elements_by_maxnorm():
    value = dual_func(element)
    coords_on_R = sigma(phi_periodize_ann(element))

    # The Gaussian is invariant under Fourier transformation, so we can
    # compare the error using the analytical expression
    true_val = function(coords_on_R)
    approximated_val = abs(value)
    total_error += abs(true_val - approximated_val*factor)

assert total_error < 10e-15

请参阅 文档 了解更多示例和信息。